최소 작용의 원리와 해밀턴의 원리에 대해 — Ch.2 페르마의 원리
2. 페르마의 원리(Fermat’s Principle)
페르마의 마지막 정리(Fermat’s Last Theorem)로도 유명한 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)는 프랑스의 법관이자 수학자이다. 페르마의 본업은 프랑스 툴루즈(Toulouse) 고등법원의 법관이었으며, 수학은 여가 시간에 즐기는 취미에 가까웠다. 그래서 그는 스스로를 아마추어 수학자라 칭하기도 하였다.
그러나 그의 수학적 업적은 아마추어라는 수식어와는 거리가 멀었다. 페르마는 6개 언어에 능통한 뛰어난 언어학자이기도 했지만, 수학에서의 재능은 특히 출중했다. 당시 르네 데카르트(René Descartes), 블레즈 파스칼(Blaise Pascal) 등과 활발하게 학문적 서신을 교환하며, 정수론, 확률론, 해석기하학 등 여러 분야에서 중요한 기여를 하였다. 특히 파스칼과의 서신 교환은 확률론(Probability Theory)의 탄생으로 이어졌으며, 정수론에서는 그 유명한 페르마의 마지막 정리를 남겼다.
페르마는 광학에서도 중요한 발견을 하였는데, 바로 페르마의 원리(Fermat’s Principle)이다. 이에 대해 알아보자.
앞서 살펴본 헤론의 반사 법칙은 일종의 최소화 원리(Minimum Principle)이었다. 최소화 원리란, 어떠한 물리량을 최소화한다는 의미를 가지고 있다. 헤론의 반사 법칙은 반사에 있어서 잘 설명되었으나, 굴절에 있어 잘 설명되지 않는 한계를 지녔다.
페르마는 이를 반사뿐만 아니라 굴절에도 최소화 원리를 적용하여 확장하고 싶었다. 그리하여 나온 것이 페르마의 원리(Fermat’s Principle)이다. 페르마의 원리는 한 점에서 다른 점으로 빛이 진행할 때, 빛의 경로를 최소화하는 것이 아닌 빛이 진행하는 시간을 최소화하는 것이라 주장했다.
반사에서의 페르마의 원리
\[L = cT\]반사의 경우 빛은 A지점과 B지점이 모두 같은 매질에 존재하므로 여기에서 경로를 지나는 시간을 최소화하는 것과 경로를 최소화하는 문제는 같은 문제이다. 매질이 같게 되면 굴절률이 같고, 굴절률은 [진공에서의 빛의 속도 $c$] / [매질에서의 빛의 속도 $v$]이므로, 매질에서의 속도는 모두 같다. 또한 위의 식에 의해 빛의 속도 $c$는 상수이므로, 시간을 최소화한다는 것은 광학적 경로 길이(Optical Path Length, OPL)를 최소화한다는 것이 된다. 따라서 위에서 기술한 헤론의 반사 법칙으로 귀결되며, 증명은 동일하다.
굴절에서 페르마의 원리
굴절에서의 페르마 원리(Fermat’s Principle)
먼저, 경계면 윗부분이 굴절률 $n_1$이고, 경계면 아래부분을 굴절률 $n_2$라고 하자. 그렇다면 각 매질에서의 속도와 굴절률의 관계는 다음과 같다.
\[v_1 = \frac{c}{n_1}, \quad v_2 = \frac{c}{n_2}\]경계면 위 매질을 매질 1이라고 하고, 경계면 아래 매질을 매질 2이라고 하자. 그렇다면 매질 1 내부의 점 $A = (0, y_1)$, 매질 2 내부의 점 $B = (d, -y_2)$라고 설정하자. 또한, 굴절이 일어나는 지점 $P = (x, 0)$이라고 하자. A와 P까지의 거리와 P에서 B까지의 거리는 다음과 같다.
\[L_1 = \sqrt{x^2 + y_1^2}\] \[L_2 = \sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}\]위의 두 식에 의해 각 구간에서 빛이 이동하는 데 걸리는 시간은 다음과 같다.
\[t_1 = \frac{L_1}{v_1} = \frac{n_1}{c}\sqrt{x^2 + y_1^2}\] \[t_2 = \frac{L_2}{v_2} = \frac{n_2}{c}\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}\]따라서 전체 이동하는 데 걸리는 시간은,
\[T(x) = \frac{n_1}{c}\sqrt{x^2 + y_1^2} + \frac{n_2}{c}\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}\]으로, 전체 시간 $T$는 굴절이 일어나는 위치 $x$를 인자로 하는 함수이다.
이때, $c$는 상수이므로, 다음과 같이 광학적 경로 길이(Optical Path Length, OPL)를 최소화하는 문제로 변환할 수 있다.
\[\text{OPL}(x) = cT(x) = n_1\sqrt{x^2 + y_1^2} + n_2\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}\]OPL을 최소화하는 문제는 극소점(local minimum)을 찾는 문제이다. 따라서 $\text{OPL}(x)$를 미분하여 0이 되는 지점이 극소점이 된다.
\[\frac{d}{dx}\text{OPL}(x) = 0\] \[\frac{d}{dx}\left[n_1\sqrt{x^2 + y_1^2} + n_2\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}\right] = n_1\frac{x}{\sqrt{x^2 + y_1^2}} - n_2\frac{(d-x)}{\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}} = 0\]따라서 위의 법칙을 만족하는 점 $x$가 최소화 조건이 된다.
또한 이를 통해 스넬의 법칙(Snell’s Law)이 유도됨을 확인해보자.
매질 1에서 점 $A = (0, y_1)$과 $P = (x, 0)$을 잇는 선과 경계면 사이를 입사각 $\theta_1$이라고 하면,
\[\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y_1^2}}\]같은 방식으로 매질 2에서 점 $P = (x, 0)$과 $B(d, -y_2)$를 잇는 선과 경계면 사이를 입사각 $\theta_2$이라고 한다면,
\[\sin\theta_2 = \frac{(d-x)}{\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}}\]따라서, 위의 최소화 조건에 위의 입사각 식을 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\]즉, 스넬의 법칙(Snell’s Law)는 페르마의 원리(Fermat’s Principle)로부터 유도됨을 알 수 있다.
헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)에서 적용된 최소화 원리(Minimum Principle)은 페르마의 원리(Fermat’s Principle)의 특수한 경우에서 유도가 된다. 페르마의 원리는 합리적인 것으로 보였다. 또한 페르마의 원리를 통해 굴절에서 가장 유명한 스넬의 법칙(Snell’s Law)를 유도할 수 있었다. 페르마는 스넬의 법칙을 유도한 뒤 이러한 말을 남겼다.
“The most extraordinary, the most unforeseen, and the happiest calculation”
— Pierre de Fermat
이 결과는 놀라웠다. 단순히 두 점을 있는 진행 경로 중 가장 진행 시간을 최소화했을 뿐이었는데 스넬의 법칙이 유도되었다. 이러한 최소화의 아이디어는 놀라웠고, 이 아이디어를 베르누이가 발전시키고자 했다.
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