최소 작용의 원리와 해밀턴의 원리에 대해 — Ch.1 헤론의 반사 법칙
1. 헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)
헤론(Heron of Alexandria, 10년경~70년경)은 고대 이집트에서 태어나 알렉산드리아에서 활동한 고대 그리스인 발명가이자 수학자였다. 헤론이 활동한 알렉산드리아는 당시 학문의 중심지였으며, 그 유명한 알렉산드리아 도서관(Library of Alexandria)이 위치한 곳이기도 하다.
헤론은 수학, 광학, 역학 등 다양한 분야에서 업적을 남겼다. 역학 분야에서는 증기의 힘으로 회전하는 장치인 아이올로스의 공(Aeolipile)을 고안하여, 최초의 증기 기관의 원형을 만든 것으로도 알려져 있다. 수학에서는 헤론의 공식(Heron’s Formula)이 대표적이고, 광학에서는 헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)이 대표적이다.
삼각형 세변의 길이를 알고 있을때, 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식
\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] \[\text{where } s = \frac{a+b+c}{2}\]헤론은 특히 광학에서 중요한 원리를 제안하였는데, 바로 헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)이다. 이 법칙은 빛의 경로를 최소화하는 방향으로 반사가 일어난다는 것이다. 굴절과 같은 다른 광학 현상까지는 설명하지 못했으나, 반사 법칙에 대해서는 훌륭하게 설명되었다.
헤론의 반사 법칙은 단순히 반사 현상을 기술하는 것을 넘어, 자연이 어떤 물리량을 최소화하는 방향으로 작동한다는 아이디어의 씨앗이 되었다. 이 아이디어는 이후 약 1600년이 지나서야 페르마에 의해 다시 발전하게 된다.
헤론의 반사 법칙의 증명
헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)
우리가 알고 있는 반사 법칙은 먼저 입사각과 반사각의 크기는 항상 같다는 것이다. 이것은 헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)으로부터 설명되는데, 어떻게 입사각과 반사각이 같음을 알려주는 것일까?
위의 그림과 같이 빛이 A로부터 출발하여 반사면의 P 지점에 도달하여 반사되고, B에 도달한다고 하자. 그리고 B지점이 반사면에 대칭되어 대응되는 지점을 B’이라고 하자. 그렇다면 경로 $\overline{AP}+\overline{PB}$는 $\overline{AP}+\overline{PB’}$과 같다. 왜냐하면 $\overline{PB} = \overline{PB’}$이기 때문이다.
헤론의 반사 법칙에 의하면, 빛은 빛의 경로를 최소화하는 방향으로 반사가 일어난다고 하였다. 이때 빛의 경로의 길이를 광학적 경로 길이(Optical Path Length, OPL)라고 한다. 따라서, OPL을 최소화하는 문제가 되어야 하므로 OPL $\overline{AP}+\overline{PB’}$는 최소가 되어야 한다. 따라서, $\overline{AP}+\overline{PB’}$의 최소 경로는 직선 $\overline{AB’}$과 같다.
즉, 점 P는 직선 AB’ 위에 놓여 있으므로, 맞꼭지각에 의해 각도 알파와 감마가 서로 크기 같다. 각도 베타와 감마는 서로 같으므로, 즉, 입사각과 반사각이 같다.
이와 같은 헤론의 반사 법칙(Heron’s Principle of Reflection)은 반사 현상을 잘 설명한다. 하지만 굴절과 같은 광학적 현상을 일반적으로 설명하는데 무리가 있었다. 따라서 굴절과 같은 광학적 현상을 일반적으로 설명하기 위한 페르마의 원리(Fermat’s Principle)가 등장하게 되었다.
챕터 이동