1학년을 위한 선형대수 노트 — 부록: 연습문제 해답 · 기호 대조표 · 다음 단계
부록 A. 연습문제 해답
0장
0-1. $z^* = 3-4i$, $\;|z|^2 = z^*z = 9+16 = 25$
0-2. $|a+b|^2 = (a+b)^*(a+b) = (a^*+b^*)(a+b) = |a|^2 + |b|^2 + a^*b + ab^*$. 마지막 두 항은 서로 켤레이므로 합이 $2\,\mathrm{Re}(a^*b)$. 따라서 $|a+b|^2 = |a|^2+|b|^2+2\,\mathrm{Re}(a^*b)$. 이 식이 B.2절의 간섭항이다.
0-3. $|1+i| = \sqrt2$, 편각은 $\pi/4$. 따라서 $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$
0-4. $\left|\frac{1+i}{\sqrt2}\right| = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1$
1장
1-1. 선형종속이다. $\vec{v} = 2\vec{u}$이므로 $2\vec{u} - \vec{v} = \vec{0}$이라는 자명하지 않은 조합이 0을 만든다.
1-2. $\hat{f}$가 직교정규이므로 계수는 내적으로 바로 나온다. $a = \hat{f}_1\cdot\vec{w} = \frac{1}{\sqrt2}(1+3) = 2\sqrt2$, $\;b = \hat{f}_2\cdot\vec{w} = \frac{1}{\sqrt2}(1-3) = -\sqrt2$. 검산: $2\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1,1) - \sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1,-1) = (2,2)-(1,-1) = (1,3)$ ✓
1-3. 불가능하다. $\dim\mathbb{R}^3 = 3$이므로 4개 이상의 벡터는 반드시 선형종속이다.
1-4. 예: $\{1, x, x^2\}$. 차원은 3.
2장
2-1. (a) $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ (b) $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ (c) $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$
각각 $\hat{e}_1, \hat{e}_2$의 행선지를 열로 적으면 된다. (c)에서 $\hat{e}_2$는 원점으로 뭉개지므로 두 번째 열이 0이다.
2-2. $FR = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, $\;RF = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. 서로 다르다.
기하학적으로: “회전한 뒤 반사”와 “반사한 뒤 회전”은 결과가 다르다. 반사가 방향(orientation)을 뒤집기 때문에, 반사 이후의 회전은 반대 방향으로 도는 것처럼 보인다.
2-3. $v_1 + 2v_2 = 0$이므로 $\ker(B) = \text{span}\{(2,-1)\}$. 1차원이다.
2-4. $A$: $\text{rank}=2$, $\dim\ker = 0$ → 합 2 ✓ / $B$: $\text{rank}=1$, $\dim\ker=1$ → 합 2 ✓
3장
3-1. $\det A = 4-1 = 3$, $\;\det B = 4-4 = 0$. $B$는 평면을 직선으로 눌러버리므로 평행사변형의 넓이가 0이 되고, 따라서 역행렬이 없다. 2.3절에서 $\ker(B)\ne\{0\}$이었던 것과 같은 이야기다.
3-2. $\det R = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. 회전은 넓이를 바꾸지도, 방향을 뒤집지도 않으므로 배율이 정확히 1이다.
3-3. $B$를 가하면 부피가 $\det B$배, 이어서 $A$를 가하면 다시 $\det A$배가 된다. 배율은 곱해지므로 전체 배율은 $\det A \cdot \det B$이다.
4장
4-1. $\det(C-\lambda\mathbb{1}) = \lambda^2 - 1 = 0$이므로 $\lambda = \pm1$. $\lambda=+1$: $v_1 = v_2$ → $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ / $\lambda=-1$: $v_1 = -v_2$ → $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$
4-2. $\lambda = +1$ → $(1,0)$, $\;\lambda=-1$ → $(0,1)$. $\lambda=-1$인 고유벡터는 변환 후 정반대로 뒤집힌다. 일상적 의미의 “방향”은 바뀌지만, 여전히 같은 직선 위에 있으므로 정의상 고유벡터가 맞다.
4-3. $\lambda = 5, 2$이고 고유벡터는 $\hat{e}_1, \hat{e}_2$. 대각행렬은 이미 각 축 방향으로 늘이는 변환이므로, 표준기저가 곧 고유벡터 기저다. 즉 이미 대각화되어 있다.
4-4. $\det A = 3$, 고유값의 곱 $= 1\times3 = 3$ ✓
5장
5-1. $P(0) = \left|\frac{1}{\sqrt3}\right|^2 = \frac13$, $\;P(1) = \frac23$
5-2. $\left|\frac{1+i}{2}\right|^2 = \frac{1+1}{4} = \frac12$, $\;\left|\frac{1}{\sqrt2}\right|^2 = \frac12$. 합이 1이므로 정규화되어 있다. ✓
5-3. $\langle+\lvert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1 + i) = \frac{1+i}{2}$, $\;\langle-\lvert\psi\rangle = \frac{1-i}{2}$
\[\therefore\ \lvert\psi\rangle = \frac{1+i}{2}\lvert+\rangle + \frac{1-i}{2}\lvert-\rangle\]5-4. 둘 다 $\frac12$.
6장
6-1. $\langle\psi\rvert = \frac{1}{\sqrt2}(1, -i)$이므로 $\langle\psi\lvert\psi\rangle = \frac12(1\cdot1 + (-i)(i)) = \frac12(1+1) = 1$ ✓ 켤레를 취하지 않았다면 $\frac12(1 + i^2) = 0$이 되어 길이가 0인 엉터리 결과가 나온다. 6.1절에서 켤레가 필요한 이유가 이것이다.
6-2. $\langle+\lvert-\rangle = \frac12(1\cdot1 + 1\cdot(-1)) = 0$. 직교한다.
6-3. $\langle+\lvert1\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$, $\langle-\lvert1\rangle = -\frac{1}{\sqrt2}$이므로 $\lvert1\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert+\rangle - \lvert-\rangle)$
6-4. 5-3의 계수를 쓰면 $P(+) = \left|\frac{1+i}{2}\right|^2 = \frac12$, $P(-) = \frac12$.
6-5. $\langle\phi\lvert\psi\rangle = \phi_1^*\psi_1 + \phi_2^*\psi_2$이고 $\langle\psi\lvert\phi\rangle = \psi_1^*\phi_1 + \psi_2^*\phi_2$. 후자의 켤레를 취하면 $\psi_1\phi_1^* + \psi_2\phi_2^*$가 되어 전자와 같다. ✓
7장
7-1. $\lvert1\rangle\langle0\rvert = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$
작용: $\lvert0\rangle \mapsto \langle0\lvert0\rangle\lvert1\rangle = \lvert1\rangle$, $\;\lvert1\rangle\mapsto\langle0\lvert1\rangle\lvert1\rangle = 0$ 즉 $\lvert0\rangle$은 $\lvert1\rangle$로 올려보내고 $\lvert1\rangle$은 없애버린다. (양자역학의 raising operator가 이런 형태다.)
7-2. $\lvert+\rangle\langle+\rvert = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$. 제곱하면 $\frac14\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ ✓
7-3. $\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} + \frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ✓
7-4. 1행 2열 성분. (첨자를 0부터 세는 관례로는 $A_{01}$)
7-5. $A = a\lvert0\rangle\langle0\rvert + b\lvert0\rangle\langle1\rvert + c\lvert1\rangle\langle0\rvert + d\lvert1\rangle\langle1\rvert$
8장
8-1. 전치하면 $\begin{pmatrix}1&2-i\\2+i&3\end{pmatrix}$, 켤레를 취하면 $\begin{pmatrix}1&2+i\\2-i&3\end{pmatrix}$로 원래 행렬과 같다. Hermitian이다. ✓ (요령: 대각 성분이 실수이고, 대각선 대칭 위치의 두 성분이 서로 켤레이면 Hermitian이다.)
8-2. $H$는 실수 대칭행렬이므로 $H^\dagger = H^T = H$, 즉 Hermitian. $H^2 = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}^2 = \frac12\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = \mathbb{1}$ 따라서 $H^\dagger H = H^2 = \mathbb{1}$이므로 unitary이기도 하다. $H$를 두 번 걸면 원래대로 돌아온다.
8-3. $H\lvert0\rangle = \lvert+\rangle$, $\;H\lvert1\rangle = \lvert-\rangle$, $\;H\lvert+\rangle = \lvert0\rangle$
마지막을 계산해보면 $H\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^T = \frac12(1+1,\,1-1)^T = (1,0)^T = \lvert0\rangle$. 마찬가지로 $H\lvert-\rangle = \lvert1\rangle$.
따라서 $\lvert+\rangle$에 $H$를 걸면 확실히 $\lvert0\rangle$이 되어 측정 결과가 반드시 0이고, $\lvert-\rangle$은 반드시 1이 나온다. 그냥 측정하면 둘 다 50:50이라 구별 불가능했지만, $H$를 한 번 거치면 100% 구별된다. B.2절에서 위상이 물리적 실체라고 한 근거가 이것이다.
8-4. $S^\dagger S = \begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix} = \mathbb{1}$ ✓ 고유값은 $1$과 $i$이고 $|1| = |i| = 1$이므로 정리 3에 부합한다. $\lvert1\rangle$은 크기가 전혀 변하지 않고 위상만 $\pi/2$만큼 돈다.
8-5. 연습문제 4-1에서 $\lambda = +1$ → $\lvert+\rangle$, $\lambda = -1$ → $\lvert-\rangle$이었으므로
\[X = \lvert+\rangle\langle+\rvert - \lvert-\rangle\langle-\rvert\]검산: $\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} - \frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ ✓
9장
9-1. $XZ = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, $\;ZX = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$
부호가 전부 반대이므로 $XZ = -ZX$ ✓ 참고로 $ZX = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} = iY$이다.
9-2. $iXZ = i\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = Y$ ✓
9-3. 연습문제 4-1과 동일. $\lambda=+1$ → $\lvert+\rangle$, $\lambda=-1$ → $\lvert-\rangle$
9-4. $P(+1) = |\langle+\lvert0\rangle|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt2}\right|^2 = \frac12$, $\;P(-1) = \frac12$
$\lvert0\rangle$은 $Z$에 대해서는 확정적($+1$이 확률 1)이지만 $X$에 대해서는 완전히 무작위다. $[X,Z]\ne0$이 이런 결과를 낳는다.
9-5. $[Z,X] = ZX - XZ = iY - (-iY) = 2iY$ ✓
10장
10-1. $\lvert10\rangle = (0,0,1,0)^T$
10-2. $\lvert+\rangle\otimes\lvert+\rangle = \frac12(\lvert00\rangle+\lvert01\rangle+\lvert10\rangle+\lvert11\rangle)$
얽혀 있지 않다. 애초에 $\otimes$로 만들었으므로 정의상 product state다. 네 항이 전부 나타난다고 해서 얽힌 것이 아니라는 점에 주의하자. 얽힘의 판정 기준은 항의 개수가 아니라 인수분해 가능성이다.
10-3. $Z\otimes X = \begin{pmatrix}1\cdot X & 0\\ 0 & -1\cdot X\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}$
10-4. $(X\otimes\mathbb{1})\lvert\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(X\lvert0\rangle\otimes\lvert0\rangle + X\lvert1\rangle\otimes\lvert1\rangle) = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert10\rangle+\lvert01\rangle) = \lvert\Psi^+\rangle$
한쪽 큐빗만 건드려도 Bell state 사이를 이동할 수 있다. 초고밀도 부호화(superdense coding)의 핵심 아이디어다.
10-5. product state라 가정하면 $ac = 0$, $ad = \frac{1}{\sqrt2}$, $bc = -\frac{1}{\sqrt2}$, $bd = 0$이다. $ad \ne 0$에서 $a\ne0$, 그런데 $ac = 0$이므로 $c = 0$. 그러면 $bc = 0 \ne -\frac{1}{\sqrt2}$로 모순. $\blacksquare$
10-6. 큐빗 10개면 $2^{10} = 1024$개. 50개면 $2^{50} \approx 1.1\times10^{15}$개로, 복소수 하나를 16바이트로 저장한다 해도 약 18페타바이트가 필요하다. 고전 컴퓨터로 양자계를 시뮬레이션하기 어려운 이유가 이것이다.
11장
11-1. $e^{-i\theta Z/2} = \cos\frac{\theta}{2}\mathbb{1} - i\sin\frac{\theta}{2}Z = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}$
11-2. $\theta=\pi$이면 $-iZ$가 된다. 즉 $Z$와 global phase $-i$만큼만 차이가 나며, B.2절에서 봤듯 global phase는 물리적으로 무의미하다. 따라서 $R_z(\pi)$와 $Z$는 물리적으로 같은 게이트다.
11-3. $e^{-i\theta X/2}\lvert0\rangle = \cos\frac{\theta}{2}\lvert0\rangle - i\sin\frac{\theta}{2}\lvert1\rangle$
$\theta = \pi$이면 $-i\lvert1\rangle$이 되어, global phase를 빼면 $\lvert1\rangle$이다. $x$축을 중심으로 180도 회전시키면 $\lvert0\rangle$이 $\lvert1\rangle$로 간다. ($X$가 bit flip인 것과 일관된다.)
11-4. $\text{tr}(X) = 0+0 = 0$, $\;\text{tr}(Z) = 1+(-1) = 0$, $\;\text{tr}(\mathbb{1}) = 2$
파울리 행렬은 셋 다 trace가 0이다. 고유값이 $+1, -1$이고 trace가 고유값의 합이므로 당연한 결과다.
부록 B. 기호 대조표
여름학교에서 기호가 막힐 때 펼칠 페이지다. 세 번째 열은 Part I에서 실수 공간으로 배운 대응물이다.
| 기호 | 읽는 법 / 뜻 | Part I의 대응물 |
|---|---|---|
| $z^*$ | $z$의 켤레복소수 | (실수에서는 $z^* = z$) |
| $\lvert\psi\rangle$ | ket. 열벡터 | 벡터 $\vec{v}$ |
| $\langle\psi\rvert$ | bra. 행벡터, ket의 켤레전치 | 전치 $\vec{v}^{\,T}$ |
| $\langle\phi\lvert\psi\rangle$ | 내적. 스칼라 | 점곱 $\vec{u}\cdot\vec{v}$ |
| $\lvert\psi\rangle\langle\phi\rvert$ | 외적. 행렬 | (거의 다루지 않음) |
| $\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$ | 사영연산자 $P$, $P^2 = P$ | 정사영 행렬 |
| $\sum_i\lvert i\rangle\langle i\rvert = \mathbb{1}$ | completeness relation | 기저 전개의 다른 표현 |
| $\langle\phi\rvert A\lvert\psi\rangle$ | 행렬 성분. $A_{ij} = \langle i\rvert A\lvert j\rangle$ | $\vec{u}^{\,T}A\vec{v}$ |
| $A^T$ | 전치 | 전치 |
| $A^*$ | 성분별 켤레 | (변화 없음) |
| $A^\dagger$ | adjoint, $(A^T)^*$ | 전치 $A^T$ |
| $A = A^\dagger$ | Hermitian. 관측량 | 대칭행렬 $A = A^T$ |
| $U^\dagger U = \mathbb{1}$ | unitary. 게이트 | 직교행렬 $O^TO = \mathbb{1}$ |
| $A = \sum_i\lambda_i\lvert i\rangle\langle i\rvert$ | spectral decomposition | 대각화 $A = PDP^{-1}$ |
| $[A,B] = AB-BA$ | 교환자 | (행렬곱의 비가환성) |
| $\{A,B\} = AB+BA$ | 반교환자 | — |
| $\otimes$ | tensor product | (다루지 않음) |
| $\lvert\phi\rangle\lvert\psi\rangle$, $\lvert\phi\psi\rangle$ | $\lvert\phi\rangle\otimes\lvert\psi\rangle$의 줄임 | — |
| $\mathbb{1}$, $I$ | 항등연산자 | 단위행렬 |
| $\text{tr}(A)$ | 대각합 $\sum_i A_{ii}$ | 대각합 |
기억할 한 줄: 실수 공간에서 $T$가 붙던 자리에 복소수 공간에서는 $\dagger$가 붙는다.
부록 C. 다음 단계
C.1 표준 교재
양자정보의 표준 교재는 Nielsen & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information 이다. 이 노트가 다룬 내용이 이 책 §2.1 “Linear algebra” (61쪽부터)에 대응한다. 소절 구성은 다음과 같으며, 이 노트의 어느 장에 해당하는지 함께 적었다.
| N&C | 제목 | 이 노트 |
|---|---|---|
| §2.1.1 | Bases and linear independence | 1장 |
| §2.1.2 | Linear operators and matrices | 2장 |
| §2.1.3 | The Pauli matrices | 9장 |
| §2.1.4 | Inner products | 6, 7장 |
| §2.1.5 | Eigenvectors and eigenvalues | 4장 |
| §2.1.6 | Adjoints and Hermitian operators | 8장 |
| §2.1.7 | Tensor products | 10장 |
| §2.1.8 | Operator functions | 11장 |
| §2.1.9 | The commutator and anti-commutator | 9장 |
| §2.1.10 | The polar and singular value decompositions | 11.4절 (이름만) |
이 노트에는 있지만 N&C §2.1에는 없는 것이 하나 있다. Part I의 기하학적 그림 전체다. N&C는 선형대수를 어느 정도 수강한 독자를 전제하고 곧바로 $\mathbb{C}^n$에서 시작하기 때문이다. 반대로 N&C에는 있지만 이 노트에서 뺀 것도 있는데, 대표적으로 §2.1.10의 polar/singular value decomposition이다.
책 62쪽에는 양자역학 표기와 그에 대응하는 선형대수 개념을 나란히 정리한 표(Figure 2.1)가 있다. 부록 B와 같은 용도이니 함께 보면 좋다.
C.2 읽는 순서에 대한 조언
N&C 저자들 스스로가 양자역학에 익숙하지 않은 독자에게 다음과 같이 권한다. §2.1을 처음에는 빠르게 훑으면서 표기법의 기본만 파악하고, 곧바로 2장의 본론인 양자역학의 공준(postulates)으로 넘어간 뒤, 필요해질 때마다 선형대수 부분으로 돌아와 깊이 공부하라는 것이다.
저자들이 지적하는 바에 따르면, 양자역학의 공준을 소화하는 데 가장 큰 장애물은 공준 자체가 아니라 그것을 이해하는 데 필요한 방대한 선형대수 개념들이며, 여기에 물리학자 특유의 Dirac notation이 겹치면서 실제보다 훨씬 어려워 보이게 된다는 것이다.
이 노트는 정확히 그 장애물을 미리 치워두려는 시도다. 여름학교에서 새 개념이 나올 때마다 이 노트의 해당 장으로 돌아와 확인하는 방식으로 쓰면 가장 효과적일 것이다.
C.3 여름학교에서 곧 만나게 될 것들
이 노트를 다 읽었다면 다음 개념들을 만날 준비가 되어 있다.
| 주제 | 이 노트에서 준비한 부분 |
|---|---|
| 양자역학의 공준 (postulates) | 5장(상태), 8장(측정과 시간발전) |
| Bloch sphere | 5장, 9장, 11장 |
| 양자 게이트와 회로 | 8장, 9장, 10장 |
| Quantum teleportation | 10장 (얽힘, Bell state) |
| Density operator $\rho$ | 7장 (외적, 사영연산자) |
| Deutsch, Grover, Shor 알고리즘 | B.2절 (간섭), 10장 (텐서곱) |
끝. 궁금한 점이 있다면 다시 노트를 살펴보는 것을 권한다. 막히거나 그래도 여전히 잘 모르겠다면 나에게 물어봐도 좋다. 여름학교에서 많은 것을 배우고 돌아오길 바란다.
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