1학년을 위한 선형대수 노트 — Ch.8 Hermitian과 unitary
8.1 Adjoint ★★★
Bridge에서 예고한 대로, 복소수 공간에서는 transpose 대신 adjoint (에르미트 켤레)를 쓴다.
\[A^\dagger \equiv (A^T)^* = (A^*)^T\]즉 전치한 다음 모든 성분에 켤레를 취한다. 기호 $\dagger$는 “dagger”라고 읽는다.
\[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix} a^* & c^* \\ b^* & d^*\end{pmatrix}\]주요 성질은 다음과 같다.
| 성질 | 식 |
|---|---|
| 두 번 하면 제자리 | $(A^\dagger)^\dagger = A$ |
| 곱은 순서가 뒤집힌다 | $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ |
| Ket과 bra | $(\lvert\psi\rangle)^\dagger = \langle\psi\rvert$ |
| 내적 옮기기 | $\langle\phi\rvert A\lvert\psi\rangle = \langle A^\dagger\phi\lvert\psi\rangle$ |
마지막 줄이 adjoint의 진짜 정의에 가깝다. $A$를 내적의 반대편으로 넘기면 $A^\dagger$가 된다는 뜻이다.
실전 요령: $\dagger$를 취하는 것은 “식 전체를 거꾸로 읽고 각 조각에 $\dagger$를 붙이는 것”이다. 예를 들어
\[\big(A\lvert\psi\rangle\big)^\dagger = \langle\psi\rvert A^\dagger\]8.2 Hermitian operator ★★★
\[A = A^\dagger\]를 만족하는 연산자를 Hermitian operator라 한다. Part I의 대칭행렬($A = A^T$)의 복소수 버전이다.
왜 중요한가. 양자역학에서 관측량(observable)은 전부 Hermitian이다. 에너지, 운동량, 스핀 전부 그렇다. 그 이유가 다음 정리에 있다.
정리 1. Hermitian operator의 고유값은 실수다.
증명해보자. $A\lvert\psi\rangle = \lambda\lvert\psi\rangle$이고 $\langle\psi\lvert\psi\rangle = 1$이라 하자. 양변에 왼쪽에서 $\langle\psi\rvert$를 곱하면
\[\langle\psi\rvert A\lvert\psi\rangle = \lambda\]이제 이 값의 켤레를 취해보자. 스칼라의 켤레는 $\dagger$와 같으므로
\[\lambda^* = \big(\langle\psi\rvert A\lvert\psi\rangle\big)^\dagger = \langle\psi\rvert A^\dagger\lvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert A\lvert\psi\rangle = \lambda\]세 번째 등호에서 $A = A^\dagger$를 썼다. $\lambda^* = \lambda$이므로 $\lambda$는 실수다. $\blacksquare$
이것이 결정적이다. 측정으로 얻는 값은 실험실에서 읽는 실제 눈금이므로 반드시 실수여야 한다. Hermitian operator는 그것을 보장하는 최소한의 조건인 셈이다.
정리 2. 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 직교한다.
6.4절에서 직교는 “완벽히 구별 가능”을 뜻한다고 했다. 즉 측정 결과가 다르면 그 상태들은 원리적으로 구별 가능하다. 물리적으로 대단히 자연스러운 요구다.
8.3 Spectral decomposition ★★★
위 두 정리를 합치면 다음을 얻는다.
Spectral theorem. Hermitian operator $A$는 항상 직교정규 고유벡터로 이루어진 기저로 대각화할 수 있다. 즉 \(A = \sum_i \lambda_i \lvert i\rangle\langle i\rvert\) 여기서 $\lambda_i$는 실수 고유값, $\{\lvert i\rangle\}$는 orthonormal basis다.
이 형태를 spectral decomposition (스펙트럼 분해)이라 한다. 이 노트에서 가장 중요한 식 중 하나이므로 반드시 익숙해지자.
이 식을 읽는 법. 그냥 수식으로 보지 말고 다음과 같이 읽자.
“이 관측량은 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$라는 측정 결과 목록을 가지며, 각 결과에 대응하는 상태가 $\lvert 1\rangle, \lvert2\rangle, \ldots$이다.”
즉 spectral decomposition은 측정 장치의 사양서다. 어떤 값들이 나올 수 있고, 각각에 어떤 상태가 대응하는지가 한 줄에 다 들어 있다.
7.4절에서 본 $A = \sum_{i,j}A_{ij}\lvert i\rangle\langle j\rvert$와 비교해보자. 일반적으로는 $i \ne j$인 항($\lvert1\rangle\langle2\rvert$ 같은)이 존재하지만, 고유벡터 기저를 고르면 그런 항이 전부 사라지고 대각항만 남는다. 4.3절에서 “대각화란 변환이 가장 단순해 보이는 기저를 찾는 일”이라 했던 것이 여기서 완성된다.
예제. $Z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$은 Hermitian이다. 고유값은 $+1$ (고유벡터 $\lvert0\rangle$)과 $-1$ (고유벡터 $\lvert1\rangle$)이므로
\[Z = (+1)\lvert0\rangle\langle0\rvert + (-1)\lvert1\rangle\langle1\rvert = \lvert0\rangle\langle0\rvert - \lvert1\rangle\langle1\rvert\]실제로 계산해보면 $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$로 맞다.
8.4 Unitary operator ★★★
\[U^\dagger U = U U^\dagger = \mathbb{1}\]를 만족하는 연산자를 unitary operator라 한다. Part I의 직교행렬($O^TO = \mathbb{1}$)의 복소수 버전이다. 정의에서 곧바로 $U^{-1} = U^\dagger$임을 알 수 있다. 역행렬을 구하는 것이 켤레전치를 취하는 것만큼 쉽다.
핵심 성질: 내적을 보존한다.
\[\langle U\phi\lvert U\psi\rangle = \langle\phi\rvert U^\dagger U\lvert\psi\rangle = \langle\phi\rvert\mathbb{1}\lvert\psi\rangle = \langle\phi\lvert\psi\rangle\]내적이 보존되면 길이도 보존된다($\lvert\phi\rangle = \lvert\psi\rangle$로 두면 된다). 즉 unitary는 단위벡터를 단위벡터로 보낸다.
양자 게이트가 unitary인 이유가 여기 있다. 두 가지로 정리하자.
- 확률이 보존된다. 상태는 항상 단위벡터여야 하는데(확률의 합 = 1), unitary만이 이를 보장한다.
- 가역적이다. $U^{-1} = U^\dagger$가 항상 존재하므로 모든 양자 연산은 되돌릴 수 있다. 정보가 소실되지 않는다.
두 번째 성질 때문에 3장의 경고가 완성된다. Unitary는 절대 공간을 납작하게 만들지 않으므로 $\det U = 0$인 일이 일어나지 않고, 따라서 det는 양자정보에서 쓸 일이 없다.
정리 3. Unitary operator의 고유값은 크기가 1이다.
$U\lvert\psi\rangle = \lambda\lvert\psi\rangle$이고 $\lvert\psi\rangle$가 단위벡터라 하자. Unitary는 길이를 보존하므로
\[1 = \langle\psi\lvert\psi\rangle = \langle U\psi\lvert U\psi\rangle = \langle\lambda\psi\lvert\lambda\psi\rangle = \lambda^*\lambda\langle\psi\lvert\psi\rangle = |\lambda|^2\]따라서 $|\lambda| = 1$이며, $\lambda = e^{i\theta}$ 꼴로 쓸 수 있다. $\blacksquare$
Bridge에서 예고한 지점이 바로 여기다. Unitary의 고유벡터는 크기가 전혀 변하지 않는다. 오직 위상만 $e^{i\theta}$만큼 돌아간다. 4.1절에서 “고유벡터는 크기만 변하는 벡터”라는 표현이 부정확하다고 경고한 이유가 이것이다. 양자정보에서 주인공이 되는 것은 정확히 크기는 안 변하고 위상만 변하는 경우다.
\[Z\lvert1\rangle = -\lvert1\rangle = e^{i\pi}\lvert1\rangle\]크기는 그대로, 위상만 $\pi$만큼 돌았다. 그리고 B.2절에서 봤듯 이 위상차가 간섭을 통해 실제로 관측된다.
한눈에 보기
| Hermitian $A = A^\dagger$ | Unitary $U^\dagger U = \mathbb{1}$ | |
|---|---|---|
| 고유값 | 실수 | 크기 1인 복소수 $e^{i\theta}$ |
| 물리적 대응 | 관측량 (observable) | 게이트, 시간발전 |
| 하는 일 | 측정 결과를 정한다 | 상태를 회전시킨다 |
| 실수 버전 | 대칭행렬 $A = A^T$ | 직교행렬 $O^TO = \mathbb{1}$ |
연습문제 8
8-1. $\begin{pmatrix}1 & 2+i \\ 2-i & 3\end{pmatrix}$가 Hermitian인지 확인하라.
8-2. Hadamard gate $H = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$이 Hermitian이면서 동시에 unitary임을 확인하라. 이로부터 $H^2 = \mathbb{1}$임을 보여라.
8-3. $H\lvert0\rangle$, $H\lvert1\rangle$, $H\lvert+\rangle$을 각각 계산하라. B.2절에서 주장한 “$H$가 $\lvert+\rangle$와 $\lvert-\rangle$를 완벽히 구별한다”는 말이 무슨 뜻인지 설명하라.
8-4. Phase gate $S = \begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}$가 unitary임을 확인하고, 고유값을 구하여 정리 3을 확인하라.
8-5. $X = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$의 spectral decomposition을 구하라. (고유값과 고유벡터는 연습문제 4-1에서 이미 구했다.)
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