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11.1 행렬의 함수 ★

$e^A$, $\sqrt{A}$ 같은 표현을 여름학교에서 만나게 될 것이다. 행렬을 지수함수에 넣는다는 것이 무슨 뜻일까?

답은 8.3절의 spectral decomposition에 있다. Hermitian operator가 $A = \sum_i \lambda_i\lvert i\rangle\langle i\rvert$로 분해된다면, 임의의 함수 $f$에 대해 다음과 같이 정의한다.

\[f(A) \equiv \sum_i f(\lambda_i)\,\lvert i\rangle\langle i\rvert\]

즉 고유값에만 함수를 적용하고 고유벡터는 그대로 둔다. 대각화된 기저에서 보면 그냥 대각 성분에 함수를 씌우는 것이다.

\[f\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\0&\lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f(\lambda_1)&0\\0&f(\lambda_2)\end{pmatrix}\]

11.2 회전 게이트 ★

미적분학에서 배운 Taylor 급수를 쓰면 흥미로운 결과가 나온다. 파울리 행렬은 $X^2 = \mathbb{1}$을 만족하므로, $X$의 거듭제곱은 두 가지밖에 없다.

\[X^0 = \mathbb{1}, \quad X^1 = X, \quad X^2 = \mathbb{1}, \quad X^3 = X, \quad \ldots\]

이제 지수함수의 Taylor 급수에 대입하자.

\[e^{-i\theta X/2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{-i\theta}{2}\right)^n X^n\]

$n$이 짝수인 항은 $\mathbb{1}$을, 홀수인 항은 $X$를 남기므로 급수가 두 덩어리로 갈라진다.

\[= \underbrace{\left[\sum_{k}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\left(\frac{\theta}{2}\right)^{2k}\right]}_{\cos(\theta/2)}\mathbb{1} \; - \; i\underbrace{\left[\sum_{k}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\left(\frac{\theta}{2}\right)^{2k+1}\right]}_{\sin(\theta/2)}X\] \[\boxed{\ e^{-i\theta X/2} = \cos\frac{\theta}{2}\,\mathbb{1} - i\sin\frac{\theta}{2}\,X\ }\]

무한급수가 두 항으로 닫혔다. 이것을 $R_x(\theta)$라 부르며, Bloch sphere에서 $x$축을 중심으로 $\theta$만큼 회전시키는 게이트다. $Y, Z$에 대해서도 똑같이 성립한다.

일반적으로 $A^2 = \mathbb{1}$인 임의의 연산자에 대해 다음이 성립한다.

\[e^{i\theta A} = \cos\theta\,\mathbb{1} + i\sin\theta\,A\]

오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$와 형태가 똑같다. 실제로 $A = 1$인 스칼라 경우가 바로 오일러 공식이다.

11.3 Hermitian에서 unitary로 ★

이 장에서 가장 중요한 사실은 다음이다.

$H$가 Hermitian이면 $U = e^{-iHt}$는 항상 unitary다.

증명은 짧다. $(e^{-iHt})^\dagger = e^{+iH^\dagger t} = e^{iHt}$이므로

\[U^\dagger U = e^{iHt}e^{-iHt} = \mathbb{1}\]

(지수 법칙을 쓸 때 두 지수가 교환해야 하는데, 여기서는 같은 $H$라서 문제없다.)

이것이 양자역학의 기본 구조다. 슈뢰딩거 방정식의 해는

\[\lvert\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}\lvert\psi(0)\rangle\]

이며, 여기서 $H$는 Hamiltonian(에너지 관측량, Hermitian)이다. 즉

\[\underbrace{\text{Hermitian}}_{\text{관측량, 에너지}} \quad\longrightarrow\quad \underbrace{\text{unitary}}_{\text{시간발전, 게이트}}\]

8장에서 따로 배운 두 개념이 지수함수로 연결된다. Hermitian은 “무엇이 측정되는가”를, 그로부터 생성된 unitary는 “시간에 따라 어떻게 변하는가”를 말해준다. 실험실에서 양자 게이트를 구현한다는 것은 결국 적절한 $H$를 만들어 적절한 시간 동안 켜두는 일이다.

11.4 그 밖에 이름만 알아둘 것 ★

여름학교 후반부에 나올 수 있는 개념들이다. 지금 이해할 필요는 없고, 단어를 들어봤다는 정도면 충분하다.

이름 한 줄 요약
Singular value decomposition (SVD) 정사각행렬이 아니어도 되는 일반화된 대각화. $A = UDV^\dagger$
Schmidt decomposition 얽힌 상태를 $\sum_i \lambda_i \lvert i_A\rangle\otimes\lvert i_B\rangle$ 꼴로 쓰는 것. SVD의 양자 버전이며, 얽힘의 양을 재는 출발점
Density operator $\rho$ 상태를 벡터가 아니라 행렬로 기술하는 방법. 얽힌 계의 부분을 다룰 때 필요
Partial trace 여러 큐빗 중 일부만 남기고 나머지를 “지우는” 연산
Trace $\text{tr}(A) = \sum_i A_{ii}$ 대각합. 기저를 바꿔도 값이 변하지 않으며, 고유값의 합과 같다

이 중 trace만은 지금 알아두면 좋다. 정의가 간단하고 계산도 쉬우며, 여름학교 첫날부터 나올 가능성이 높다.

연습문제 11

11-1. $Z^2 = \mathbb{1}$임을 이용해 $e^{-i\theta Z/2}$를 $\cos, \sin$으로 나타내라.

11-2. 11-1의 결과에 $\theta = \pi$를 대입하라. 결과를 $Z$와 비교하면 어떤 관계인가?

11-3. $e^{-i\theta X/2}\lvert0\rangle$을 계산하라. $\theta = \pi$일 때 어떤 상태가 되는가?

11-4. $\text{tr}(X)$, $\text{tr}(Z)$, $\text{tr}(\mathbb{1})$을 각각 구하라.

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