1학년을 위한 선형대수 노트 — Ch.10 Tensor product
이 장은 반드시 읽을 것. 표준 선형대수 강의에서 거의 다루지 않지만, 여름학교에서는 이틀째부터 쏟아진다. 시간이 부족하면 다른 장을 건너뛰더라도 이 장은 확보하자.
10.1 왜 필요한가 ★★★
지금까지는 큐빗 하나만 다뤘다. 큐빗이 두 개면 어떻게 될까?
자연스러운 첫 추측은 “$\mathbb{C}^2$ 두 개니까 $\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$, 차원이 $2+2=4$”일 것이다. 결론적으로 차원이 4인 것은 맞지만, 이유가 완전히 다르다. 그리고 그 차이가 양자정보의 모든 것을 결정한다.
고전 비트 두 개를 생각해보자. 가능한 상태는 $00, 01, 10, 11$의 네 가지다. 각 경우가 하나의 기저벡터에 대응해야 하므로, 필요한 차원은 $2 \times 2 = 4$다. 더하기가 아니라 곱하기다.
이 구조를 만들어내는 연산이 tensor product (텐서곱)이며 $\otimes$로 쓴다.
\[\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4\] \[\dim(V \otimes W) = \dim V \times \dim W\]큐빗이 2개일 때는 $2\times2 = 4$이고 $2+2$도 4라서 우연히 같지만, 3개가 되면 확연히 갈린다.
\[\underbrace{2 \times 2 \times 2 = 8}_{\text{tensor product}} \qquad \text{vs} \qquad \underbrace{2+2+2 = 6}_{\text{단순 합}}\]일반적으로 큐빗 $n$개의 상태공간은 $\mathbb{C}^{2^n}$이며, 차원이 지수적으로 증가한다. 큐빗 300개면 차원이 $2^{300}$으로, 관측 가능한 우주의 원자 수보다 많다. 이 지수적 크기가 양자컴퓨터의 잠재력이자, 고전 컴퓨터로 양자계를 시뮬레이션하기 어려운 이유다.
10.2 계산 규칙 ★★★
기저
두 큐빗의 기저는 각 기저의 조합 네 개다.
\[\lvert0\rangle\otimes\lvert0\rangle, \quad \lvert0\rangle\otimes\lvert1\rangle, \quad \lvert1\rangle\otimes\lvert0\rangle, \quad \lvert1\rangle\otimes\lvert1\rangle\]매번 $\otimes$를 쓰기 번거로우므로 다음과 같이 줄여 쓴다. 세 표기는 전부 같은 뜻이다.
\[\lvert0\rangle\otimes\lvert1\rangle = \lvert0\rangle\lvert1\rangle = \lvert01\rangle\]성분 계산 (Kronecker product)
성분으로 계산할 때는 다음 규칙을 따른다. 첫 번째 벡터의 각 성분에 두 번째 벡터 전체를 곱해서 쌓는다.
\[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1 b_1\\a_1 b_2\\a_2 b_1\\a_2 b_2\end{pmatrix}\]확인해보자.
\[\lvert01\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 0\\1\cdot 1\\0\cdot 0\\0\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\]$\mathbb{C}^4$의 두 번째 기저벡터가 되었다. 성분 순서가 $\lvert00\rangle, \lvert01\rangle, \lvert10\rangle, \lvert11\rangle$ 순임을 확인하자. 이진수를 세는 순서와 같다.
연산자의 텐서곱
행렬도 같은 방식으로 곱한다.
\[A \otimes B = \begin{pmatrix}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B\end{pmatrix}\]각 성분 자리에 행렬 $B$가 통째로 들어간다. 예를 들어
\[X\otimes X = \begin{pmatrix}0\cdot X & 1\cdot X\\ 1\cdot X & 0\cdot X\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}\]핵심 규칙
\[(A\otimes B)(\lvert\psi\rangle\otimes\lvert\phi\rangle) = A\lvert\psi\rangle \otimes B\lvert\phi\rangle\]각자 자기 짝에게만 작용한다. 이 규칙만 알면 성분 계산 없이 대부분의 문제가 풀린다. 예를 들어
\[(X\otimes X)\lvert00\rangle = X\lvert0\rangle\otimes X\lvert0\rangle = \lvert1\rangle\otimes\lvert1\rangle = \lvert11\rangle\]위 행렬의 첫 번째 열이 $(0,0,0,1)^T = \lvert11\rangle$인 것과 일치한다.
내적
\[\big(\langle a\rvert\otimes\langle b\rvert\big)\big(\lvert c\rangle\otimes\lvert d\rangle\big) = \langle a\lvert c\rangle\,\langle b\lvert d\rangle\]역시 자기 짝끼리만 만난다. 예를 들어 $\langle 01\lvert01\rangle = \langle0\lvert0\rangle\langle1\lvert1\rangle = 1\cdot1 = 1$이고, $\langle 01\lvert10\rangle = \langle0\lvert1\rangle\langle1\lvert0\rangle = 0\cdot0 = 0$이다.
10.3 Entanglement ★★★
이제 이 장의 진짜 목적지에 도착했다.
두 큐빗의 일반적인 상태는 네 기저의 선형결합이다.
\[\lvert\Psi\rangle = c_{00}\lvert00\rangle + c_{01}\lvert01\rangle + c_{10}\lvert10\rangle + c_{11}\lvert11\rangle\]어떤 상태들은 각 큐빗의 상태를 따로 지정해서 만들 수 있다. 즉
\[\lvert\Psi\rangle = \lvert\psi\rangle\otimes\lvert\phi\rangle\]꼴로 쓸 수 있다. 이런 상태를 product state (곱 상태) 또는 separable state라 한다. “1번 큐빗은 이 상태, 2번 큐빗은 저 상태”라고 각각 말할 수 있는 경우다.
그런데 모든 상태가 이렇게 쓰이지는 않는다. 그렇게 쓸 수 없는 상태를 entangled state (얽힌 상태)라 한다.
얽힘의 정의는 신비로운 것이 아니다. “$\otimes$ 꼴로 인수분해되지 않는다”는 순수하게 대수적인 성질이다.
Bell state가 얽혀 있음을 증명하자
가장 유명한 얽힘 상태는 다음이다.
\[\lvert\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\big(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\big)\]이것이 product state가 아님을 보이자. 귀류법을 쓴다. 만약 product state라면 어떤 $\lvert\psi\rangle = a\lvert0\rangle + b\lvert1\rangle$과 $\lvert\phi\rangle = c\lvert0\rangle + d\lvert1\rangle$이 존재하여
\[\lvert\psi\rangle\otimes\lvert\phi\rangle = ac\lvert00\rangle + ad\lvert01\rangle + bc\lvert10\rangle + bd\lvert11\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\lvert00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}\lvert11\rangle\]계수를 비교하면 다음 네 조건을 얻는다.
\[ac = \frac{1}{\sqrt2}, \qquad ad = 0, \qquad bc = 0, \qquad bd = \frac{1}{\sqrt2}\]첫 번째 식에서 $ac \ne 0$이므로 $a \ne 0$이고 $c \ne 0$이다. 그런데 두 번째 식 $ad = 0$에서 $a \ne 0$이므로 $d = 0$이어야 한다. 그러면 네 번째 식이 $b \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt2}$, 즉 $0 = \frac{1}{\sqrt2}$가 되어 모순이다. $\blacksquare$
따라서 $\lvert\Phi^+\rangle$은 어떤 방법으로도 두 개의 개별 큐빗 상태로 분리할 수 없다.
이것이 의미하는 바. “1번 큐빗은 어떤 상태인가?”라는 질문에 답이 존재하지 않는다. 두 큐빗이 개별적으로는 상태를 갖지 않고 오직 전체로서만 상태를 갖는다. 얽힘이 양자정보의 핵심 자원인 이유가 여기 있으며, 양자 텔레포테이션, 초고밀도 부호화, Bell 부등식 위배가 전부 이 성질에서 나온다.
네 개의 Bell state
다음 네 상태를 묶어 Bell basis라 하며, $\mathbb{C}^4$의 orthonormal basis를 이룬다. 넷 다 얽혀 있다.
\[\lvert\Phi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\big(\lvert00\rangle \pm \lvert11\rangle\big), \qquad \lvert\Psi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\big(\lvert01\rangle \pm \lvert10\rangle\big)\]10.4 CNOT gate ★★
얽힘을 실제로 만들어내는 게이트를 하나 보자. CNOT (controlled-NOT)은 첫 번째 큐빗(control)이 $\lvert1\rangle$일 때만 두 번째 큐빗(target)에 $X$를 가한다.
\[\text{CNOT} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}\]작용을 정리하면 다음과 같다.
\[\lvert00\rangle \to \lvert00\rangle, \quad \lvert01\rangle\to\lvert01\rangle, \quad \lvert10\rangle\to\lvert11\rangle, \quad \lvert11\rangle\to\lvert10\rangle\]Bell state 만들기. $\lvert00\rangle$에서 시작해 첫 큐빗에 $H$를 걸고 CNOT을 가하면
\[\lvert00\rangle \xrightarrow{H\otimes\mathbb{1}} \frac{1}{\sqrt2}\big(\lvert00\rangle + \lvert10\rangle\big) \xrightarrow{\text{CNOT}} \frac{1}{\sqrt2}\big(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\big) = \lvert\Phi^+\rangle\]얽힘이 생성되었다. 게이트 두 개면 충분하다.
여기서 주목할 점이 있다. CNOT은 $A\otimes B$ 꼴로 쓸 수 없다. 만약 그렇게 쓸 수 있다면 10.2절의 규칙에 의해 product state는 항상 product state로 남을 것이고, 얽힘은 절대 생성되지 않을 것이다. 얽힘을 만들려면 반드시 2큐빗 게이트가 필요하다.
연습문제 10
10-1. $\lvert1\rangle\otimes\lvert0\rangle$을 $\mathbb{C}^4$의 열벡터로 나타내라.
10-2. $\lvert+\rangle\otimes\lvert+\rangle$을 전개하여 $\lvert00\rangle, \lvert01\rangle, \lvert10\rangle, \lvert11\rangle$의 선형결합으로 써라. 이 상태는 얽혀 있는가?
10-3. $Z\otimes X$를 $4\times4$ 행렬로 써라.
10-4. $(X\otimes\mathbb{1})\lvert\Phi^+\rangle$을 계산하라. 결과는 어떤 Bell state인가?
10-5. $\lvert\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert01\rangle - \lvert10\rangle)$이 얽힌 상태임을 10.3절과 같은 방법으로 증명하라.
10-6. 큐빗 10개의 상태를 기술하려면 복소수가 몇 개 필요한가? 50개라면?
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