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9.1 정의 ★★

$\mathbb{C}^2$에서 가장 자주 등장하는 세 개의 행렬이다. 여름학교 내내 이 셋을 보게 될 것이다.

\[X = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}, \qquad Z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\]

이를 Pauli matrices라 하며, $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ 또는 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$으로도 쓴다. 항등행렬 $\mathbb{1}$을 $\sigma_0$ 또는 $I$로 두고 넷을 묶어 다루는 경우도 많다.

직관적 의미

  • $X$: $\lvert0\rangle \leftrightarrow \lvert1\rangle$을 뒤바꾼다. 고전 컴퓨터의 NOT gate에 해당하여 bit flip이라 부른다.
  • $Z$: $\lvert0\rangle$은 그대로 두고 $\lvert1\rangle$에만 $-1$을 곱한다. 상대위상을 뒤집으므로 phase flip이라 한다.
  • $Y$: 사실 $Y = iXZ$이며, bit flip과 phase flip을 동시에 한다.

9.2 기본 성질 ★★

성질 1. 셋 다 Hermitian이면서 동시에 unitary다.

\[\sigma^\dagger = \sigma, \qquad \sigma^\dagger \sigma = \mathbb{1}\]

두 성질을 함께 가지므로 다음이 따라온다.

\[X^2 = Y^2 = Z^2 = \mathbb{1}\]

Hermitian이라는 것은 관측량으로 쓸 수 있다는 뜻이고, unitary라는 것은 게이트로도 쓸 수 있다는 뜻이다. 파울리 행렬이 양자정보에서 그토록 자주 등장하는 이유가 이 이중 신분에 있다.

성질 2. 고유값은 전부 $\pm1$이다. ($\sigma^2 = \mathbb{1}$이므로 $\lambda^2 = 1$)

고유벡터는 각각 다르다. 이 표를 외워두면 편하다.

연산자 $\lambda = +1$ $\lambda = -1$
$Z$ $\lvert0\rangle$ $\lvert1\rangle$
$X$ $\lvert+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0\rangle+\lvert1\rangle)$ $\lvert-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0\rangle-\lvert1\rangle)$
$Y$ $\lvert{+i}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0\rangle+i\lvert1\rangle)$ $\lvert{-i}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0\rangle-i\lvert1\rangle)$

세 개의 서로 다른 orthonormal basis가 나왔다는 점에 주목하자. 1.3절과 5.3절에서 강조했던 “기저는 좌표계의 선택”이 여기서 세 갈래로 구체화된다. 양자정보에서 “$X$ 기저로 측정한다”는 말은 $X$의 고유벡터 기저로 측정한다는 뜻이다.

9.3 곱셈표와 비가환성 ★★

파울리 행렬끼리의 곱은 다음과 같다. 손으로 직접 확인해볼 것.

\[XY = iZ, \qquad YZ = iX, \qquad ZX = iY\] \[YX = -iZ, \qquad ZY = -iX, \qquad XZ = -iY\]

즉 순환 순서($X \to Y \to Z \to X$)로 곱하면 $+i$가, 거꾸로 곱하면 $-i$가 붙는다.

여기서 결정적인 사실이 보인다.

\[XZ = -ZX \ne ZX\]

순서를 바꾸면 부호가 뒤집힌다. 2.2절에서 “행렬 곱은 변환의 합성이므로 순서가 중요하다”고 했던 것의 가장 극적인 예다.

교환자 (commutator)

두 연산자가 얼마나 교환하지 않는지를 재는 양을 정의한다.

\[[A, B] \equiv AB - BA\]

$[A,B] = 0$이면 두 연산자는 교환한다(commute)고 말한다. 파울리 행렬의 경우

\[[X, Y] = XY - YX = iZ - (-iZ) = 2iZ\]

마찬가지로 $[Y,Z] = 2iX$, $[Z,X] = 2iY$이다.

물리적 의미. 두 관측량이 교환하지 않으면 동시에 확정된 값을 가질 수 없다. 이것이 불확정성 원리(uncertainty principle)의 수학적 원천이다. 예를 들어 $X$와 $Z$는 교환하지 않으므로, 어떤 상태도 $X$ 값과 $Z$ 값을 동시에 확정적으로 가질 수 없다. 실제로 $\lvert0\rangle$은 $Z$에 대해 확정적($\lambda = +1$)이지만 $X$로 측정하면 $\pm1$이 반반씩 나온다.1

반교환자 (anti-commutator)

\[\{A, B\} \equiv AB + BA\]

파울리 행렬은 서로 다른 것끼리 반교환한다. 즉 $\{X, Y\} = XY + YX = iZ - iZ = 0$이다.

9.4 파울리 행렬은 기저다 ★

7.4절에서 $\lvert i\rangle\langle j\rvert$ 네 개가 $2\times2$ 행렬 공간의 기저가 된다고 했다. 사실 $\{\mathbb{1}, X, Y, Z\}$도 마찬가지로 기저가 된다. 즉 임의의 $2\times2$ 행렬 $A$는

\[A = a_0\mathbb{1} + a_1 X + a_2 Y + a_3 Z\]

로 유일하게 쓸 수 있다. 특히 $A$가 Hermitian이면 계수 $a_i$가 전부 실수가 된다.

예를 들어 Hadamard gate는 $H = \frac{1}{\sqrt2}(X + Z)$이다. 직접 계산해보면

\[\frac{1}{\sqrt2}\left[\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right] = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \quad \checkmark\]

연습문제 9

9-1. $XZ$와 $ZX$를 직접 계산하여 $XZ = -ZX$임을 확인하라.

9-2. $Y = iXZ$임을 확인하라.

9-3. $X$의 고유값과 고유벡터가 표와 같음을 확인하라. (연습문제 4-1과 같은 계산이다.)

9-4. $\lvert0\rangle$을 $X$로 측정하면 $+1$과 $-1$이 각각 어떤 확률로 나오는가? 6.4절의 공식을 쓸 것.

9-5. $[Z, X] = 2iY$임을 확인하라.

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  1. 반대로 교환하는 두 관측량은 공통 고유벡터 기저를 가지므로 동시에 측정할 수 있다. 여름학교에서 “commuting observables”라는 표현이 나오면 이 뜻이다. ↩

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