1학년을 위한 선형대수 노트 — Ch.7 Outer product와 completeness
7.1 외적은 행렬이다 ★★★
6.2절에서 $\langle\phi\lvert\psi\rangle$가 (행벡터)×(열벡터) = 스칼라임을 보았다. 이제 순서를 뒤집어 보자.
\[\lvert\psi\rangle\langle\phi\rvert = \begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\phi_1^* & \phi_2^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\psi_1\phi_1^* & \psi_1\phi_2^* \\ \psi_2\phi_1^* & \psi_2\phi_2^*\end{pmatrix}\]$(n\times 1)\times(1\times n) = (n\times n)$, 즉 행렬이다. 이를 outer product (외적)라 한다.
이 노트에서 초심자가 가장 많이 헷갈리는 지점이 여기다. $\langle\phi\lvert\psi\rangle$는 스칼라, $\lvert\psi\rangle\langle\phi\rvert$는 행렬이다. 기호의 순서만 보면 된다. 뾰족한 쪽이 바깥으로 벌어져 있으면 행렬이다.
예제.
\[\lvert0\rangle\langle0\rvert = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad \lvert0\rangle\langle1\rvert = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\]7.2 외적이 벡터에 작용하는 법 ★★★
행렬이므로 벡터에 작용시킬 수 있다. 결합법칙을 이용하면 계산이 놀랍도록 쉬워진다.
\[\big(\lvert a\rangle\langle b\rvert\big)\lvert\psi\rangle = \lvert a\rangle\underbrace{\langle b\lvert\psi\rangle}_{\text{스칼라}} = \langle b\lvert\psi\rangle\,\lvert a\rangle\]즉 어떤 벡터가 들어오든, 결과는 항상 $\lvert a\rangle$ 방향이다. 계수만 $\langle b\lvert\psi\rangle$로 달라진다.
이것이 Dirac notation의 진짜 위력이다. 행렬 성분을 일일이 곱하지 않고, 기호를 옆에 있는 것끼리 붙여 읽기만 하면 된다. 이 습관을 지금 들이자.
7.3 사영연산자 ★★★
$\lvert\psi\rangle$가 단위벡터일 때
\[P_\psi = \lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert\]를 projector (사영연산자)라 한다. 임의의 벡터를 $\lvert\psi\rangle$ 방향으로 사영시키는 연산자다.
\[P_\psi \lvert\phi\rangle = \langle\psi\lvert\phi\rangle\,\lvert\psi\rangle\]가장 중요한 성질은 다음이다.
\[P_\psi^2 = \lvert\psi\rangle\underbrace{\langle\psi\lvert\psi\rangle}_{=1}\langle\psi\rvert = \lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert = P_\psi\]두 번 사영해도 결과가 같다. 당연하다. 이미 그림자를 드리운 것에 다시 그림자를 드리워도 그대로다. 이 성질($P^2 = P$)을 멱등성(idempotency)이라 하며, 사영연산자의 정의로 삼기도 한다.
측정 확률도 사영연산자로 쓸 수 있다.
\[P(i) = |\langle i\lvert\psi\rangle|^2 = \langle\psi\lvert i\rangle\langle i\lvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert P_i \lvert\psi\rangle\]가운데에 $\lvert i\rangle\langle i\rvert$가 자연스럽게 나타난 것에 주목하자. 다음 절의 예고편이다.
7.4 Completeness relation ★★★
이 절이 Part II에서 가장 중요하다. 양자정보 계산의 상당 부분이 여기서 나온다.
$\{\lvert i\rangle\}$가 orthonormal basis일 때 다음이 성립한다.
\[\boxed{\ \sum_i \lvert i\rangle\langle i\rvert = \mathbb{1}\ }\]이를 completeness relation (완전성 관계) 또는 resolution of the identity라 한다.
증명은 세 줄이다. 6.3절의 전개식을 보자.
\[\lvert\psi\rangle = \sum_i \langle i\lvert\psi\rangle\,\lvert i\rangle = \sum_i \lvert i\rangle\langle i\lvert\psi\rangle = \left(\sum_i \lvert i\rangle\langle i\rvert\right)\lvert\psi\rangle\]임의의 $\lvert\psi\rangle$에 대해 성립하므로 괄호 안이 항등연산자다. (첫 번째 등호에서 두 번째로 갈 때 한 일은 스칼라 $\langle i\lvert\psi\rangle$를 뒤로 옮긴 것뿐이다.)
확인. computational basis에 대해
\[\lvert0\rangle\langle0\rvert + \lvert1\rangle\langle1\rvert = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \mathbb{1} \quad \checkmark\]이걸 어디에 쓰는가. $\mathbb{1}$은 아무 데나 곱해도 아무것도 바뀌지 않는다. 그래서 계산 중간 어디에든 마음대로 끼워 넣을 수 있다. 이것이 이 관계의 전부이자 핵심이다.
활용 1: 기저 변환
$\lvert\psi\rangle$를 $\lvert\pm\rangle$ 기저로 바꾸고 싶다면, 그냥 $\lvert\pm\rangle$의 completeness relation을 앞에 끼워 넣으면 된다.
\[\lvert\psi\rangle = \mathbb{1}\lvert\psi\rangle = \big(\lvert+\rangle\langle+\rvert + \lvert-\rangle\langle-\rvert\big)\lvert\psi\rangle = \langle+\lvert\psi\rangle\,\lvert+\rangle + \langle-\lvert\psi\rangle\,\lvert-\rangle\]6.3절에서 했던 일이 한 줄로 끝난다.
활용 2: 행렬 성분
연산자 $A$의 행렬 성분은 다음과 같이 정의된다.
\[A_{ij} = \langle i\rvert A \lvert j\rangle\]그러면 completeness relation을 양쪽에 끼워서 $A$를 성분으로 분해할 수 있다.
\[A = \mathbb{1}A\mathbb{1} = \sum_{i,j}\lvert i\rangle\langle i\rvert A\lvert j\rangle\langle j\rvert = \sum_{i,j}A_{ij}\,\lvert i\rangle\langle j\rvert\]즉 $\lvert i\rangle\langle j\rvert$들이 행렬공간의 기저 역할을 한다. 행렬을 “숫자 표”가 아니라 “외적들의 선형결합”으로 보는 관점이며, 8장의 spectral decomposition이 바로 이것의 특수한 경우다.
활용 3: 행렬곱
\[\langle i\rvert AB\lvert j\rangle = \langle i\rvert A\,\mathbb{1}\,B\lvert j\rangle = \sum_k \langle i\rvert A\lvert k\rangle\langle k\rvert B\lvert j\rangle = \sum_k A_{ik}B_{kj}\]우리가 외웠던 행렬곱 공식이 저절로 유도된다.
정리 계산이 막히면 일단 $\sum_i\lvert i\rangle\langle i\rvert$를 끼워 넣어보자. 여름학교 강사가 아무 설명 없이 이 짓을 할 것이므로, 미리 익숙해져 두면 좋다.
연습문제 7
7-1. $\lvert1\rangle\langle0\rvert$을 $2\times2$ 행렬로 써라. 이 연산자를 $\lvert0\rangle$과 $\lvert1\rangle$에 각각 작용시킨 결과는?
7-2. $\lvert+\rangle\langle+\rvert$을 $2\times2$ 행렬로 써라. $P^2 = P$임을 직접 확인하라.
7-3. $\lvert+\rangle\langle+\rvert + \lvert-\rangle\langle-\rvert = \mathbb{1}$임을 직접 계산으로 확인하라.
7-4. $\langle0\rvert A\lvert1\rangle$이 행렬 $A$의 몇 행 몇 열 성분인가?
7-5. $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$를 $\lvert i\rangle\langle j\rvert$ 네 개의 선형결합으로 써라.
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