1학년을 위한 선형대수 노트 — Ch.0 이 노트를 읽는 법과 복소수 워밍업
이 노트를 읽는 법
이 노트는 선형대수를 한 번도 수강하지 않은 상태에서 양자정보 여름학교에 가는 사람을 위해 쓰였다. 목표는 선형대수를 “다 아는 것”이 아니다. 여름학교에서 어떤 기호를 만났을 때 당황하지 않는 것이다. 그것만 해도 충분하다.
각 절에는 다음과 같이 등급이 붙어 있다.
| 등급 | 의미 |
|---|---|
| ★★★ | 여름학교 가기 전에 반드시 읽을 것 |
| ★★ | 학교에서 관련 내용이 나오면 그때 다시 볼 것 |
| ★ | 여유가 될 때, 또는 참고용 |
★★★만 읽어도 된다. 시간이 없다면 ★★와 ★는 과감히 건너뛰고, 필요해질 때 돌아오면 된다.
노트는 두 부분으로 나뉜다.
- Part I은 실수 공간 $\mathbb{R}^2$에서 벡터공간과 변환이 무엇인지에 대한 감각을 잡는 데 목적이 있다. 그림이 많고 계산이 적다.
- Part II는 무대를 복소수 공간 $\mathbb{C}^n$으로 옮겨 양자정보에서 실제로 쓰는 표기와 계산을 다룬다. 그림이 적고 손으로 하는 계산이 많다.
두 부분 사이에는 Bridge라는 짧은 장이 있다. Part I에서 만든 직관 중 무엇이 살아남고 무엇이 죽는지를 정리한 곳으로, 이 노트에서 가장 중요한 페이지다.
각 장 끝에는 연습문제가 있다. 반드시 손으로 풀기 바란다. 해답은 부록 A에 있다. 읽기만 해서는 절대 손에 붙지 않는 종류의 내용이다.
0.1 자기점검 체크리스트 ★★★
아래 질문에 답할 수 있다면 이 노트의 목적은 달성된 것이다. 지금은 하나도 몰라도 정상이다. 다 읽은 뒤 다시 돌아와서 확인해보자.
- $|1+i|^2$은 얼마인가?
- 기저(basis)를 바꾸면 벡터 자체가 바뀌는가?
- 행렬의 첫 번째 열은 무엇을 의미하는가?
- $\det A = 0$이라는 것은 이 변환에 대해 무엇을 말해주는가?
- 고유벡터(eigenvector)의 정의를 정확히 말할 수 있는가? “크기만 변하는 벡터”는 왜 부정확한가?
- $\lvert\psi\rangle\langle\phi\rvert$는 스칼라인가, 벡터인가, 행렬인가?
- $\sum_i \lvert i\rangle\langle i\rvert = \mathbb{1}$은 무슨 뜻이며, 언제 쓰는가?
- Hermitian과 unitary는 각각 물리적으로 무엇에 대응하는가?
- $XZ$와 $ZX$는 같은가?
- $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$의 차원은 얼마인가? 왜 $4$이지 $2$가 아닌가?
0.2 복소수 워밍업 ★★★
이 절은 강의 전에 읽고 올 것. 여기서 막히면 뒤가 전부 무너진다. 이미 아는 내용이라면 30초 만에 훑고 넘어가도 좋다.
복소수 $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$, $i^2 = -1$)에 대해 다음을 정의한다.
켤레복소수 (complex conjugate)
\[z^* = a - bi\]즉 $i$의 부호만 뒤집는다. 물리에서는 $\bar{z}$ 대신 $z^*$를 주로 쓴다.
절댓값의 제곱 (modulus squared)
\[|z|^2 = z^* z = (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2\]여기서 결정적으로 중요한 사실이 하나 있다. $z^2$은 음수가 될 수도 있지만($i^2 = -1$), $z^*z$는 절대로 음수가 되지 않는다. 항상 0 이상의 실수다. 이 성질 하나 때문에 앞으로 우리는 켤레를 취하는 연산을 온갖 곳에 끼워 넣게 된다. 확률은 음수일 수 없기 때문이다.
극형식 (polar form)과 오일러 공식 (Euler’s formula)
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]이 식은 $e^x$, $\cos x$, $\sin x$의 Taylor 급수를 각각 써놓고 비교하면 바로 나온다. 미적분학에서 배운 내용이므로 여기서 유도는 생략한다.
임의의 복소수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[z = r e^{i\theta}, \qquad r = |z| \ge 0, \quad \theta \in \mathbb{R}\]$r$을 크기(magnitude), $\theta$를 위상(phase)이라 부른다. 복소수를 “크기와 각도를 가진 화살표”로 생각하면 편하다.
앞으로 계속 쓸 사실들
| 성질 | 식 |
|---|---|
| 지수함수의 크기 | $|e^{i\theta}| = 1$ (모든 실수 $\theta$에 대해) |
| 켤레 | $(e^{i\theta})^* = e^{-i\theta}$ |
| 곱의 켤레 | $(zw)^* = z^* w^*$ |
| 합의 켤레 | $(z+w)^* = z^* + w^*$ |
| 실수 판정 | $z^* = z \iff z$는 실수 |
| 특수값 | $e^{i\pi} = -1$, $\quad e^{i\pi/2} = i$ |
$|e^{i\theta}| = 1$은 특히 자주 쓴다. 위상만 바꾸는 것은 크기를 전혀 바꾸지 않는다. 이 사실이 양자역학 전체를 관통한다.
연습문제 0
0-1. $z = 3 + 4i$일 때 $z^*$와 $|z|^2$을 구하라.
0-2. $|a + b|^2$을 $a^*, a, b^*, b$로 전개하라. ($a, b$는 복소수)
0-3. $z = 1 + i$를 $re^{i\theta}$ 꼴로 나타내라.
0-4. $\frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)$의 크기는 얼마인가?