1학년을 위한 선형대수 노트 — Ch.4 Eigenvalue와 eigenvector
4.1 정의 ★★★
변환 $A$는 대부분의 벡터를 늘이고 돌리고 뒤집는다. 그런데 어떤 특별한 벡터들은 돌아가지 않는다. 원래 있던 직선 위에 그대로 머문 채 길이만 달라진다. 이런 벡터를 찾는 것이 이 장의 목표다.
$\vec{v} \ne \vec{0}$이고 어떤 스칼라 $\lambda$에 대해 \(A\vec{v} = \lambda \vec{v}\) 가 성립하면, $\vec{v}$를 $A$의 고유벡터 (eigenvector), $\lambda$를 그에 대응하는 고유값 (eigenvalue)이라 한다.
정의에서 $\vec{v} \ne \vec{0}$이라는 조건에 주의하자. $\vec{0}$은 어떤 $\lambda$에 대해서도 $A\vec{0} = \lambda\vec{0}$을 만족하므로, 이를 허용하면 정의가 무의미해진다.
정의를 말로 옮기면
$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$는 “$A$를 가해도 $\vec{v}$가 자기 자신의 스칼라배로 남는다”는 뜻이다. 기하학적으로는 $\vec{v}$가 span하는 직선 위를 벗어나지 않는다는 뜻이다.
이 표현에 주의를 기울이자. 흔히 “고유벡터는 방향이 안 변하고 크기만 변하는 벡터”라고 설명하는데, 이 문장은 부정확하다. $\lambda < 0$이면 벡터는 정반대로 뒤집힌다. 일상적인 의미의 “방향”은 바뀌는 것이다. 그럼에도 뒤집힌 벡터는 여전히 같은 직선 위에 있으므로 고유벡터가 맞다.
이 구분이 지금은 사소해 보이겠지만, Part II에서 $\lambda$가 복소수가 되면 결정적으로 중요해진다. 미리 밝혀두면, 그때는 크기가 아예 안 변하고 위상만 변하는 경우가 주인공이 된다.
정리 고유벡터는 “크기만 변하는 벡터”가 아니라 “자기가 span하는 직선 위에 머무는 벡터”다. 이 정의를 외워둘 것.
4.2 고유값 구하기 ★★★
정의식을 옮겨 쓰자.
\[A\vec{v} = \lambda\vec{v} \implies (A - \lambda\mathbb{1})\vec{v} = \vec{0}\]여기서 $\mathbb{1}$은 항등행렬(identity matrix)이다.1 이 식은 “$\vec{v}$가 $\ker(A - \lambda\mathbb{1})$에 속한다”는 뜻인데, 우리는 $\vec{v} \ne \vec{0}$인 해를 원한다. 즉 핵이 자명하지 않아야 한다. 3.2절의 동치 관계에 의해 이것은 다음과 동등하다.
\[\boxed{\ \det(A - \lambda\mathbb{1}) = 0\ }\]이것을 특성방정식 (characteristic equation)이라 하고, 좌변의 $\lambda$에 대한 다항식을 특성다항식 (characteristic polynomial)이라 한다. 이 방정식을 풀면 고유값이 나오고, 각 고유값을 원래 식에 대입해 풀면 고유벡터가 나온다.
드디어 det가 쓰이는 지점이 여기다. 3장에서 배운 것 중 실제로 계속 쓰게 될 것은 이 용도 하나뿐이다.
예제. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터를 구하자. (이 행렬은 Part I 내내 쓰고 있는 그 행렬이다.)
\[\det(A - \lambda\mathbb{1}) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0\] \[(2-\lambda)^2 = 1 \implies 2 - \lambda = \pm 1 \implies \lambda = 1, \ 3\]$\lambda = 3$일 때:
\[(A - 3\mathbb{1})\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \vec{0} \implies v_1 = v_2\]따라서 $\vec{v} = (1,1)$ (또는 그 상수배). 정규화하면 $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$이다.
$\lambda = 1$일 때:
\[(A - \mathbb{1})\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \vec{0} \implies v_1 = -v_2\]따라서 $\vec{v} = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$.
여기서 눈여겨볼 것. 나온 두 고유벡터가 1.3절에서 예로 들었던 $\hat{f}_1, \hat{f}_2$와 정확히 같다. 그리고 이 둘은 서로 수직이다. 우연이 아니다. $A$가 대칭행렬($A = A^T$)이기 때문인데, 이 사실은 8장에서 spectral theorem이라는 이름으로 다시 만난다.
4.3 Diagonalization ★★★
고유벡터를 왜 구하는가? 변환이 가장 단순해 보이는 좌표계를 찾기 위해서다.
위의 예에서 기저를 $\hat{f}_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$, $\hat{f}_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$로 바꿔보자. 이 기저에서 $A$가 하는 일은 무엇인가?
\[A\hat{f}_1 = 3\hat{f}_1, \qquad A\hat{f}_2 = 1\cdot\hat{f}_2\]2.2절에 따르면 행렬의 열은 기저벡터의 행선지이므로, 이 기저에서 $A$의 행렬 표현은
\[\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]대각행렬이 되었다. 원래는 $(2,1;1,2)$라는 뒤엉킨 행렬이었는데, 좌표계를 잘 고르니 “첫 번째 축 방향으로 3배, 두 번째 축 방향으로 1배”라는 지극히 단순한 변환으로 드러난 것이다.
일반적으로, 고유벡터들을 열로 갖는 행렬을 $P$라 하면
\[A = PDP^{-1}, \qquad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}\]로 쓸 수 있다. 이를 대각화 (diagonalization)라 한다. $P^{-1}$은 “$\hat{f}$ 좌표계로 옮기기”, $D$는 “각 축 방향으로 늘이기”, $P$는 “원래 좌표계로 돌아오기”에 해당한다.
정리 대각화란 변환이 가장 단순해 보이는 기저를 찾는 일이다. 1.3절에서 “기저는 좌표계의 선택”이라 했는데, 대각화는 그 선택 중 가장 좋은 것을 고르는 작업이다.
여기서 자연스러운 질문이 생긴다. 모든 행렬이 대각화 가능한가? 답은 “아니다”이고, 바로 이 지점에서 우리는 복소수 공간으로 넘어가게 된다. 다음 Bridge 장의 주제다.
연습문제 4
4-1. $C = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터를 구하라. (이 행렬은 Part II에서 $X$라는 이름으로 다시 만난다.)
4-2. $Z’ = \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터를 구하라. 고유값이 음수인 경우 그 고유벡터는 변환 후 어떻게 되는가?
4-3. 대각행렬 $\begin{pmatrix} 5&0\\0&2\end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터를 구하라. 왜 계산이 이렇게 쉬운가?
4-4. $\det A$가 고유값들의 곱과 같음을 4.2절의 예제 $A$에 대해 확인하라.
← 이전 · Ch.3 Determinant ｜ 전체 목차 ｜ Bridge: 왜 복소수인가 · 다음 →
-
교재에 따라 $I$로도 쓴다. 이 노트에서는 숫자 1과의 혼동을 피하기 위해 $\mathbb{1}$을 쓴다. ↩