1학년을 위한 선형대수 노트 — Ch.6 Inner product와 bra
6.1 내적의 정의 ★★★
$\mathbb{R}^n$에서 내적은 $\vec{u}\cdot\vec{v} = \sum_i u_i v_i$였다. $\mathbb{C}^n$에서는 이 정의를 그대로 쓸 수 없다. 그대로 쓰면 $\vec{v}\cdot\vec{v}$가 음수나 복소수가 되어 “길이”로 해석할 수 없기 때문이다.
예를 들어 $\vec{v} = (i, 0)$이면 $\sum_i v_i v_i = i^2 = -1$이다. 길이의 제곱이 $-1$일 수는 없다.
해결책은 0장에서 이미 봤다. 한쪽에 켤레를 씌운다.
\[\langle \phi \lvert \psi\rangle \equiv \sum_i \phi_i^* \psi_i\]이렇게 정의하면 $\langle\psi\lvert\psi\rangle = \sum_i \psi_i^*\psi_i = \sum_i |\psi_i|^2 \ge 0$이 보장된다.
내적의 성질
| 성질 | 식 |
|---|---|
| 켤레 대칭성 | $\langle\phi\lvert\psi\rangle = \langle\psi\lvert\phi\rangle^*$ |
| 두 번째 인수에 선형 | $\langle\phi\lvert(a\psi_1 + b\psi_2)\rangle = a\langle\phi\lvert\psi_1\rangle + b\langle\phi\lvert\psi_2\rangle$ |
| 첫 번째 인수에 반선형 | $\langle(a\phi_1 + b\phi_2)\lvert\psi\rangle = a^*\langle\phi_1\lvert\psi\rangle + b^*\langle\phi_2\lvert\psi\rangle$ |
| 양정치성 | $\langle\psi\lvert\psi\rangle \ge 0$, 등호는 $\lvert\psi\rangle = 0$일 때만 |
주의: 물리학에서는 두 번째 인수(오른쪽)에 선형인 관례를 쓴다. 수학 교재는 왼쪽에 선형인 반대 관례를 쓰는 경우가 많으니, 다른 책을 볼 때 확인하는 습관을 들이자.
켤레 대칭성에서 즉시 따라오는 사실 하나. $\langle\psi\lvert\psi\rangle = \langle\psi\lvert\psi\rangle^*$이므로 $\langle\psi\lvert\psi\rangle$는 항상 실수다. 안심하고 길이로 쓸 수 있다.
노름 (norm)
\[\|\psi\| = \sqrt{\langle\psi\lvert\psi\rangle}\]5장의 normalization condition은 이 표기로 $\langle\psi\lvert\psi\rangle = 1$이라고 간단히 쓸 수 있다.
6.2 Bra ★★★
$\langle\phi\lvert\psi\rangle$라는 표기를 다시 보자. 마치 $\langle\phi\lvert$라는 물건과 $\lvert\psi\rangle$라는 물건을 곱한 것처럼 생겼다. 실제로 그렇게 봐도 된다.
\[\langle \phi \rvert \equiv \big(\lvert\phi\rangle\big)^\dagger = \begin{pmatrix}\phi_1^* & \phi_2^* & \cdots & \phi_n^*\end{pmatrix}\]즉 ket을 전치하고 켤레를 취한 행벡터다. 이를 bra라 한다. Bra와 ket을 붙여 쓰면 bracket이 된다는 말장난에서 나온 이름이다.
이제 내적은 문자 그대로 행벡터 × 열벡터의 행렬곱이 된다.
\[\langle\phi\lvert\psi\rangle = \begin{pmatrix}\phi_1^* & \phi_2^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix} = \phi_1^*\psi_1 + \phi_2^*\psi_2\]$(1\times n)\times(n\times 1) = (1\times 1)$, 즉 스칼라다. 이 타입 감각을 지금 확실히 해두자. 7장에서 순서를 뒤집으면 전혀 다른 물건이 나온다.
계산 예.
\[\langle 0\lvert 0\rangle = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = 1, \qquad \langle 0\lvert 1\rangle = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = 0\]6.3 직교정규기저 ★★★
기저 $\{\lvert i\rangle\}$가 다음을 만족하면 orthonormal basis (직교정규기저)라 한다.
\[\langle i \lvert j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ne j\end{cases}\]즉 서로 직교하고(orthogonal), 각각의 길이가 1이다(normalized). $\{\lvert0\rangle, \lvert1\rangle\}$과 $\{\lvert+\rangle, \lvert-\rangle\}$ 모두 orthonormal basis다.
직교정규기저가 왜 좋은가. 전개계수를 내적 하나로 뽑아낼 수 있기 때문이다. $\lvert\psi\rangle = \sum_j c_j \lvert j\rangle$에 왼쪽에서 $\langle i\rvert$를 곱하면
\[\langle i\lvert\psi\rangle = \sum_j c_j \langle i\lvert j\rangle = \sum_j c_j \delta_{ij} = c_i\] \[\therefore \quad \boxed{\ \lvert\psi\rangle = \sum_i \langle i\lvert\psi\rangle\, \lvert i\rangle\ }\]이 식을 반드시 외우자. “성분을 구하려면 그 기저벡터와 내적하라”는 뜻이며, 앞으로 계산의 절반이 이것이다. 연립방정식을 풀 필요가 전혀 없다.
예제. $\lvert0\rangle$을 $\lvert\pm\rangle$ 기저로 전개하자.
\[\langle +\lvert 0\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2}, \qquad \langle -\lvert 0\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2}\] \[\therefore \quad \lvert0\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\lvert+\rangle + \frac{1}{\sqrt2}\lvert-\rangle\]5.3절에서 두 식을 더해서 얻었던 결과와 같다. 하지만 이 방법이 훨씬 기계적이고, 차원이 커져도 그대로 통한다.
6.4 내적의 물리적 의미 ★★★
$\langle\phi\lvert\psi\rangle$는 일반적으로 복소수라서 그 자체로는 물리적 의미가 없다. 물리적 의미를 갖는 것은 절댓값의 제곱이다.
\[\big|\langle\phi\lvert\psi\rangle\big|^2 = \text{상태 } \lvert\psi\rangle \text{를 } \lvert\phi\rangle \text{ 기저로 측정했을 때 그 결과가 나올 확률}\]이를 두 상태의 겹침(overlap)이라 부르기도 한다. 특별한 두 경우를 보자.
- $\langle\phi\lvert\psi\rangle = 0$ (직교): 확률 0. 절대 혼동되지 않는, 완벽히 구별 가능한 두 상태
- $|\langle\phi\lvert\psi\rangle| = 1$: 확률 1. 같은 상태 (global phase 차이만 있음)
Part I에서 “직교 = 수직”이었던 것이 여기서는 “직교 = 완벽히 구별 가능”이라는 정보이론적 의미를 얻는다. Bridge의 표에서 예고했던 그것이다.
이 관점에서 5장의 Born rule을 다시 쓰면 훨씬 깔끔해진다.
\[P(i) = \big|\langle i\lvert\psi\rangle\big|^2\]연습문제 6
6-1. $\lvert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0\rangle + i\lvert1\rangle)$에 대해 $\langle\psi\lvert\psi\rangle$를 계산하고, 정규화되어 있는지 확인하라.
6-2. $\langle +\lvert -\rangle$을 계산하라. 두 상태는 직교하는가?
6-3. $\lvert1\rangle$을 $\lvert\pm\rangle$ 기저로 전개하라. 6.3절의 방법을 쓸 것.
6-4. $\lvert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0\rangle + i\lvert1\rangle)$을 $\lvert\pm\rangle$ 기저로 측정할 때 각 결과의 확률을 구하라.
6-5. $\langle\phi\lvert\psi\rangle = \langle\psi\lvert\phi\rangle^*$임을 $\mathbb{C}^2$에서 성분으로 직접 확인하라.
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